2024-03-25码农

1. 图像的卷积

1.1 卷积

卷积是一种数学运算，它将两个函数（或矩阵）结合起来，生成一个第三个函数。在图像处理中，卷积通常用于将一个 滤波器 与图像进行运算。

图像的 滤波器 是一种用于 增强或抑制图像中特定特征 的工具。它通常是一个小矩阵，定义了如何对图像中的像素进行操作。

卷积在图像处理中有很多应用，包括图像平滑、图像锐化、边缘检测和图像分割。

1.2 卷积的原理

在泛函分析中，卷积（convolution），或译为叠积、褶积或旋积，是透过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。

卷积可分为一维卷积、二维卷积、三维卷积和多维卷积等。

1.2.1 一维卷积

一维卷积在数学上的定义: f 和 g 是实数 R 上的两个可积函数，我们称（f*g)(n) 为 f、g 的卷积。

其连续的定义为：

其离散的定义为：

1.2.2 二维卷积

在图像处理中，我们常用的是二维卷积。其原理是将一个称为 卷积核 (滤波器)的矩阵与图像进行 滑动运算 ，从而得到一个新的图像。

2D_Convolution_Animation.gif

滑动运算 是指将卷积核在图像上逐个像素移动，并对每个位置进行卷积操作。

在图像的二维卷积中，如果把图像矩阵简写为 I 把卷积核 Kernal 简写为 K，则目标图像的第 (i,j) 个像素的卷积值为：

其中，I 是一个二维矩阵，K 是一个大小为 mxn 的卷积核。基于卷积的可交换性，可以把上述公式改成：

与之类似的还有 互相关函数 (corresponding function):

它在很多图像处理库和深度学习库中，经常会用到。

上图实质上是 二维单通道 的卷积，对于 二维多通道 的卷积如下图所示，将每个卷积核应用到每一个通道上。

将filters中的每个kernels分别应用于三个通道.gif

然后将每个通道处理后的每个加在一起以形成单个输出通道。

将这三个通道加在一起（逐元素加法）以形成一个单个通道.gif

1.2.3 三维卷积

三维卷积是卷积在三维空间上的推广。它将一个三维的滤波器与一个三维的输入数据进行卷积运算，得到一个三维的输出数据，以提取三维数据中的特征。主流的深度学习框架，都提供了三维卷积的实现。

3D_Convolution_Animation.gif

1.3 卷积的性质

卷积具有交换律、结合律、分配律，以二维卷积为例它具有以下的性质：

交换律 ：f(x, y) * g(x, y) = g(x, y) * f(x, y)

结合律 ：(f(x, y) * g(x, y))* h(x, y) = f(x, y) * (g(x, y) * h(x, y))

分配律 ：f(x, y) * (g(x, y) + h(x, y)) = f(x, y) * g(x, y) + f(x, y) * h(x, y)

2. 图像滤波

2.1 图像滤波

图像滤波 是一种图像处理技术，用于增强或抑制图像中的特定特征，它可以看作是卷积的一种特殊情况。图像滤波可以用图像卷积来实现，但是图像卷积不一定是图像滤波。

在 OpenCV 中，提供了丰富的图像滤波函数，可以满足各种图像处理需求。常用图像滤波函数包括：

均值滤波: blur() 、 boxFilter()

高斯滤波: GaussianBlur()

中值滤波: medianBlur()

双边滤波: bilateralFilter()

非线性滤波: fastNlMeansDenoising()

边缘检测滤波: Sobel() 、 Scharr() 、 Laplacian()

形态学滤波: erode() 、 dilate() 、 morphologyEx()

频域滤波: dft() 、 idft()

下面的例子，分别展示了原图经过均值滤波、高斯滤波、中值滤波和双边滤波之后的效果图。特别是双边滤波，对原图中的美女进行了美颜和磨皮。

#include<opencv2/opencv.hpp> #include<opencv2/core.hpp> #include<opencv2/highgui.hpp> #include<opencv2/imgproc.hpp> usingnamespacestd; usingnamespace cv; intmain(){ Mat src = imread(".../girl.jpg"); // 均值滤波 Mat blurred_image; blur(src, blurred_image, Size(15, 15)); // 高斯滤波 Mat gaussian_blurred_image; GaussianBlur(src,gaussian_blurred_image, Size(15, 15), 0); // 中值滤波 Mat median_blurred_image; medianBlur(src, median_blurred_image,15); // 双边滤波 Mat bilateral_filtered_image; bilateralFilter(src, bilateral_filtered_image,15, 80, 80); imshow("Original Image", src); imshow("Blurred Image", blurred_image); imshow("Gaussian Blurred Image", gaussian_blurred_image); imshow("Median Blurred Image", median_blurred_image); imshow("Bilateral Filtered Image", bilateral_filtered_image); waitKey(0); return0; }

OpenCV 还提供了自定义的滤波器 filter2D() 函数，在该系列的第九篇文章中，曾经介绍过 filter2D() 函数。

下面的例子，展示了使用 filter2D() 函数对图像进行模糊和锐化。

#include<opencv2/opencv.hpp> #include<opencv2/core.hpp> #include<opencv2/highgui.hpp> #include<opencv2/imgproc.hpp> usingnamespacestd; usingnamespace cv; intmain(){ Mat src = imread(".../girl.jpg"); imshow("src", src); Mat blurred_image,sharpen_image; Mat kernel1 = Mat::ones(5, 5, CV_32F) / (float)(25); Mat kernel2 = (Mat_<char>(3, 3) << 0, -1, 0, -1, 5, -1, 0, -1, 0); filter2D(src, blurred_image, -1, kernel1); filter2D(src, sharpen_image, -1, kernel2); imshow("Blurred Image", blurred_image); imshow("Sharpen Image", sharpen_image); waitKey(0); return0; }

下面简单解释一下 filter2D() 函数：

voidfilter2D( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, InputArray kernel, Point anchor = Point(-1,-1), double delta = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT );

第三个参数 ddepth: 输出图像的深度。当 ddepth 输入值为 -1 时，目标图像和原图像深度保持一致。

第四个参数 kernel: 卷积核。

第五个参数 anchor: 卷积核的锚点。

第六个参数 delta: 卷积结果与原图像相加的值。

第七个参数 borderType: 边界处理方式。