2024-01-29碼農

1. 霍夫空間和霍夫變換

1.1 霍夫空間

霍夫空間 (Hough space)是一種用於影像分析的 特征空間 ，用於描述影像中具有相同形狀的線段或曲線。

霍夫空間是指將影像空間中的點對映到 參數空間 後形成的空間。參數空間的維度由形狀的描述參數的個數決定。例如，對於直線檢測，參數空間的維度為 2，其中一個維度表示直線的斜率，另一個維度表示直線的截距。對於圓檢測，參數空間的維度為 3，這三個參數分別是圓心座標和圓的半徑。

霍夫空間具有以下特性：

霍夫空間的維度等於直線或曲線的特征參數的個數。

霍夫空間中的每個點都對應於影像空間中的一條特征線。

霍夫空間中的點的值表示該特征線在影像空間中的出現頻率。

1.2 霍夫變換

霍夫變換 (Hough transform)是一種基於 霍夫空間 的影像特征提取演算法。它可以用於檢測影像中的直線、圓形、橢圓等形狀。

霍夫變換具有以下優點：

速度快，適合處理大尺寸的影像。

可以檢測任意形狀的影像。

霍夫變換也具有以下缺點：

對影像雜訊敏感。

容易受到幹擾。

霍夫變換的步驟：

對影像進行預處理，提取邊緣點。

將邊緣點對映到霍夫空間中。

在霍夫空間中計算累加函式。

根據累加函式的值來檢測影像中的形狀。

2. 霍夫直線檢測

2.1 直線檢測的霍夫空間

在影像空間中，直線可以用 y = mx+b 表示，其中 m 是直線的斜率，b 是直線的截距。

在參數空間中，直線可以用 (m,b) 表示，其中 m 是直線的斜率，b 是直線的截距。

影像空間中的每條直線在參數空間中都對應著單獨 一個點 來表示。影像空間中的直線上任何一部份線段在參數空間對應的是 同一個點 。

將影像空間中的直線對映到參數空間中的點，其中 θ 是直線的傾斜角，r 是直線與原點的距離。

r 所在的直線跟直線 y = mx + b 的交點可得

由於

所以，

這樣，影像空間**(直角座標系x-y)**的一個點在參數空間( 極座標系𝜌-𝜃 )中就對應為一條曲線。

其中：(x,y) 表示線上點的座標，𝜌 表示線距原點的距離，𝜃 表示線與 x 軸的方向。

影像空間的一個點在參數空間中就對應為一條曲線 ρ = xcos(θ) + ysin(θ)，而參數空間的每個點 (θ, ρ) 都對應了影像空間的一條直線。

霍夫變換預設使用極座標系來檢測影像中的線，因為笛卡爾座標系中線的斜率範圍無限大，導致計算量較高。

2.2 投票機制

在霍夫直線檢測中，有一個重要的投票機制，它的過程如下：

邊緣檢測：使用邊緣檢測演算法辨識影像中的邊緣像素。

參數空間對映：每個邊緣點為其可能所屬的參數空間(霍夫空間)中的每條潛線上「投票」。投票的位置取決於線的角度 (θ) 和距原點的距離 (ρ)。

累加器陣列：在霍夫空間中，每當邊緣像素符合該線參數化時，對應於特定 (θ, ρ) 組合的每個單元都會收到投票。投票被累加在累加器陣列中。

峰值檢測：叠代所有邊緣像素後，分析累加器陣列以尋找具有最高投票計數(峰值)的單元格。這些峰值代表由最多數量的邊緣點支持的線，並且被認為是影像中最可能出現的線。

線參數提取：最後利用峰值的(θ，ρ)值重建原始影像空間中的直線方程式，提供最終檢測到的線。

投票機制好處在於：

對雜訊和部份遮擋的魯棒性

能夠同時檢測多條直線

基於邊緣高效辨識直線

總體而言，投票機制是霍夫直線檢測的核心優勢，使其能夠有效地從雜訊和復雜影像中辨識直線。

2.3 例子

下面的例子，透過 Canny 尋找提取影像的邊緣，然後對映到霍夫空間進行直線檢測，最後繪制找到的直線。

#include"opencv2/imgproc.hpp" #include"opencv2/highgui.hpp" usingnamespacestd; usingnamespace cv; intmain(int argc, char **argv){ Mat src = imread(".../country_road.jpg"); imshow("src", src); Mat gray; cvtColor(src, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY); GaussianBlur(gray,gray,Size(7,7),0); Mat edge; Canny(gray,edge,100,300,3); imshow("edge", edge); std::vector<Vec4f> lines; cv::HoughLinesP(edge, lines, 1, CV_PI / 180.0, 80, 50, 5); cv::Scalar color = cv::Scalar(0, 0, 255); for(size_t i = 0; i < lines.size(); i++){ line(src, cv::Point(lines[i][0], lines[i][1]), cv::Point(lines[i][2], lines[i][3]), color, 8, cv::LINE_AA); } imshow("result", src); waitKey(0); return0; }

HoughLinesP() 函式是基於**累積機率霍夫變換(PPHT)**的一種實作。PPHT 演算法比標準霍夫變換演算法更準確，但也更耗時。

voidHoughLinesP( InputArray image, OutputArray lines, double rho, double theta, int threshold, double minLineLength = 0, double maxLineGap = 0 );

第一個參數 image：輸入影像，必須是單鍊結的灰度影像或二值影像。

第二個參數 lines：輸出陣列，其中儲存檢測到的直線。每個直線由四個元素的向量表示，分別為直線的起點 (x1, y1)、終點 (x2, y2)。

第三個參數 rho：參數空間中 ρ 的範圍。

第四個參數 theta：參數空間中 θ 的範圍。

第五個參數 threshold：累加器中用於判定線段是否有效的閾值。

第六個參數 minLineLength：線段的最小長度。

第七個參數 maxLineGap：線段之間的最大間隔。

HoughLinesP() 函式對雜訊敏感，因此在使用前應對影像進行降噪處理。

下面的例子，同樣是基於 Canny 尋找影像的邊緣，然後進行直線檢測。

#include"opencv2/imgproc.hpp" #include"opencv2/highgui.hpp" usingnamespacestd; usingnamespace cv; intmain(int argc, char **argv){ Mat src = imread(".../paper.jpg"); imshow("src", src); Mat gray; cvtColor(src, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY); Mat edge; Canny(gray,edge,40,80,3); imshow("edge", edge); std::vector<Vec4f> lines; cv::HoughLinesP(edge, lines, 1, CV_PI / 180.0, 20, 100, 30); cv::Scalar color = cv::Scalar(0, 0, 255); for(size_t i = 0; i < lines.size(); i++){ line(src, cv::Point(lines[i][0], lines[i][1]), cv::Point(lines[i][2], lines[i][3]), color, 8, cv::LINE_AA); } imshow("result", src); waitKey(0); return0; }