【優雅的等式：歐拉公式與數學之美】 限時特惠包郵 ￥ 19.5 （ 原價￥39 ）， 2024年3月25日活動結束。
誰能抗拒去看這樣或那樣的十佳榜單？我可不行。因此，幾年前當我偶然看到數學家們列出的一份最美定理排名時，它就引起了我的關註。我決定將這看成一次突擊測驗：我能從我那遙遠的數學專業本科學習歲月中回憶起其中的哪幾條？
糟糕，很遺憾，我敗下陣來了。不過，我仍然為自己能夠回憶起前10條（共24條）中的9條而感到欣慰。然而，其中排名第一的最美定理卻令我感到困擾一一我以前就曾見過這個被稱為歐拉公式的等式，但記不起在求學期間曾仔細研究過它。
當時我有點兒想為自己開脫，心想它很可能被高估了。這個公式中既沒有神秘的符號，也沒有其他嚴肅的數學藝術的真知，它只不過以數為特征，而且只有5個數而已（在其通常的寫法中就是如此）。確實，其中有3個數是用字母來表示的，這顯示了它們的特殊性。不過，與一個困惑不解的小學一年級學生寫出的2+1=0相比，這個等式本身看起來也並沒有顯示出更多的灼見。你看，它就是e iπ +1=0。
我當時無疑已經很熟悉菜昂哈德·歐拉（歐拉的發音接近「oiler」）了，這個公式就是以這位18世紀的數學家的名字來命名的。他被稱為數學界的莫札特，並且可以說他的墨點遍布我的那些老舊數學書中的每一頁。不過，這並沒再說明多少問題，而且這個公式隨後就開始像一段曲調，其由來與發展一直在我的腦中揮之不去，叫人受不了。透過谷歌一查，我發現許多數學方面的權威人士都認為它不僅美，而且是數學史上最卓越的成果之一。其中就有我的偶像之一理察·費曼，這位傑出的理論物理學家曾參與過曼哈頓計劃，贏得過諾貝爾獎，領導了1986年「挑戰者號」太空梭失事的調查工作，並且最重要的是，他顯露出幾乎超越常人的生活樂趣。為什麽這個看起來很簡單的小小公式竟會吸引他那能量無窮的頭腦？
好吧，我決定是時候來做一番調查研究了。盡管我在大學畢業後改行去從事科學寫作，但是我要充當我那幾個喜歡轉動著眼珠的孩子的數學導師，以此來避免我的數學思維完全萎縮。就我兒子的情況來說，我一直輔導了他整個高中階段的微積分課程。因此，我查閱了歐拉公式的推導過程（如果你懂一點兒微積分的話，這個過程是相當直截了當的），並探究了它的歷史和意義。正如在我之前的許多數學愛好者一樣，我在完成這一切後不禁想喝彩，或者更精確地說是拍案叫絕。
首先， 它實際上相當於將數學中兩千年來的那些大思想壓縮排了一個小得出奇的包裹之中。 這些大思想包括：無限的性質和套用（從根本上來說，無窮大就隱藏在這個公式內部），π這個數在數學中無處不在的怪異現象，名字起得令人誤解而大有用處的敘述，一無所有（也就是0）的精妙之處。
不過，真正吸引我的註意力的是這樣一個事實：歐拉在發現這個公式的路上，揭開了數學概念之中的一組隱秘的關系。盡管許多學生在高中時就學習過這些概念，但是他們沒有意識到它們是以一種可以描述為酷到邪門的方式彼此深刻聯系在一起的。（也就是說，比單純的了不起還要再酷上好幾個等級。）我就這樣理解了其中的美。不過，我仍對記憶中的那些空白之處驚訝不已，那裏本該有一位選美皇後。我拿出了大學時代的那些微積分書繼續探究。我當時將它們作為戰利品保存下來，以紀念我躬身閱讀它們所花費的時間。這些書的索引中並沒有列出歐拉公式。在逐頁翻閱它們的過程中，我終於找到唯一的一處短暫地提到了一個一般公式（這個公式也是由歐拉提出的），而那個最美的公式可作為它的一個特例而得出。我能找到的最接近「e iπ +1=0」的內容是一道練習題，其答案恰好就是該式的另一種形式。
原來如此，我當時這樣想。我並沒有忘記歐拉公式，只是在我求學的時代，它被輕描淡寫地提到了一下。現在回頭細想，這個最美的等式在我兒子的任何高中數學課程中也都沒有被提到過。
最後，這種想法使我回憶起對於當初的這些課程，我實在知道得太多了。確實是這樣，我在內心深處嘆息道。作為兒子昆汀的導師，我對於他日常的數學作業比他自己更熟練。作為一個初露頭角的藝術家，他認為數學課既無聊又浪費時間。而到他動身去上大學時，我看他的那些數學書時出現了幻影。我所看見的兩幅影像之一是我作為一名數學愛好者所知道的那一具有進取心的形象，而另一幅影像則是他眼中所看到的。
2013年，小說家尼克爾森·貝克在【哈伯斯】雜誌上發表了一篇文章，談及強制性高中數學課如何常常孕育出學生對數學的憎惡，其中令人難忘地描述了這後一幅影像。他特別寫道：
「[學習代數II課程的學生們]被迫反復盯著這些不出聲的符號體系所構成的一個個令人毛骨悚然的辣根塊看，如平方根、多項式。這些東西令他們惱怒，擋住了他們的去路，而且也是他們所無法理解的。家庭作業沒完沒了，演算法變得越來越長、越來越棘手，考試接踵而來。他們之中的許多人遲早會中途垮下來。」
你大概能看出我說這些是為了什麽。我的下一個想法是：要是昆汀以及其他數百萬認為數學是最佳催眠藥的人能體驗我再次看到歐拉這一偉大發現時所感受到的那種震顫就好了。我內心深處的獨白者早已在我耳邊低語：「寫一本書吧！」
然而，我堅定地對他說，讓我們還是現實一點兒吧。對於那些把大部份高中數學知識都忘記了的人，他們是不可能體驗到這種頓悟的。這個主意太荒謬了，忘了它吧。光是想到這個主意就會對我作為一名有些理性的思考者的名聲造成無可估量的損害。
當然，隨後我就坐下來開始寫這本書了。這樣說稍微有點兒誇張了，我對這個想法反復斟酌了大約一年的時間。最終我想起了美國哲學家奧茨·柯爾克·鮑斯瑪是如何克服猶豫不決而寫出一本他曾拿不定主意是寫還是不寫的書的。他這樣解釋道：「我丟擲一枚硬幣，而它也如我所料地落了下來。它豎立在那裏，於是我把它推倒了。」
所以，我們就有了這本書。不過，在你鉆研本書（或者決定不去看它）之前，請先看完這篇引言。我會長話短說。
我推倒這枚硬幣的原因之一是， 歐拉公式提供了一種非常罕見的組合，其中有美感、有深度、有驚訝，而對於我的種種曰的而言最重要的是，它還具有可理解性 一一幾乎沒有什麽深奧的數學結論會像它這般容易理解（雖然還需要做一番解釋，顯然就是薄薄一本書的代價）。我也知道在撰寫過程中，我有機會去重溫被如此巧妙地封裝進這個公式中的各種想法，從而使我能漫步於整個數學史。
此外，這個公式並不僅僅是抽象藝術的一種數學版本。在歐拉之後很久，科學家和工程師們才認識到，上文所提及的那個一般等式（即e iπ +1=0概念上的上層等式）對於用數學方法來模擬像交流電那樣有節奏變化的一些現象是極其有用的。因此，歐拉的這一才華橫溢的純數學發現卻今已深深地融合在我們周圍的各種電氣裝置之中。我也會把這稱為酷到邪門，假如允許我再次使用這一形容方式的話。
這個公式的不朽也對我產生了吸重力。電氣工程師保羅·納辛在他為學過大學數學的人所撰寫的關於此公式的一本書中說得好：「在遙遠未來的技術人員看來，如今的物理學、化學和工程學幾乎必然都是陳腐過時的，但歐拉公式不同，即使對於1萬年後無論多麽先進的數學家來說，它仍然是完美的，令人震撼，並未因時間而褪色。」
我希望本書能大致描述出這些光彩的林林總總。不過，我覺得有必要先提幾件事，權當公示一下本書的主旨。首先，寫作本書的意圖並不是幫助讀者提高數學技能，也不打算透徹地教授它所涵蓋的數學內容，本書的唯一任務是要清晰地闡明偉大的數學就如同偉大的藝術或偉大的文學一樣具有美感和深度，令人振奮。其次，假如你是一位資深數學愛好者，那麽你很可能會發現書中的大部份內容都過於基礎。有些人已經忘記了他們在六年級以後所學的大部份數學知識，也許他們一時想不起這些知識。我盡力使這些人也能理解本書介紹的數學內容。因此，我假定讀者熟悉生活中需要處理的那些基本知識，如算術運算、分數、比率、小數、百分數。美國的孩子們在七年級或八年級學習代數之前應該知道這些內容。
不過，我還是引入了許多數學運算式。你也許會由此推斷出，我在某種程度上沒有貫徹物理學家史帝芬·霍金的那條關於在非技術性書籍中使用數學運算式的著名告誡。他談論道：「有人告訴我，我在這本書（【時間簡史】）中所引入的每一個數學公式都會使銷量減半。因此，我決定完全不列出任何公式。」（最終他還是用了一個公式：E=mc 2 。）事實上，我很清楚這條評論，實際上它如文身一般印刻在我的大腦皮層上。但是我認為，介紹歐拉公式而不使用公式，就如同描述凡·高的【星夜】而不展示圖片一樣。這會使我無法實作自己的目標，而我的目標是使讀者們能夠真正接近數學史（甚至人類思想史）上的一個制高點。
我當然想到過，假如那條銷量減半原理是正確的，那麽本書能吸引的讀者也許不到一百萬分之一個人。（這裏有好幾十個數學運算式。）不過，我還是很高興地宣布，現在我們已經知道有超過這個數位一百萬倍的人翻閱了這本書，而這意味著那條原理的提出者也許需要做些數學修正。無論如何，我希望至少有幾個渴望學習知識的人會繼續讀下去，並行現自己體驗到了一些出乎意料的驚異，度過了一些歡欣鼓舞的時刻。
戴維·斯蒂普
歐拉公式有時也被稱為上帝等式，其中只包含五個數，但卻令人驚訝地揭示出了那些隱匿的關聯。這個等式將從基本算術到復利、圓的周長、三角學、微積分、甚至無限的萬事萬物聯系在一起。
本書作者戴維·斯蒂普用歐拉等式來作為一盞導航燈，引領著我們一個接一個地瀏覽那些具有啟發性的數學概念，讓我們窺見數學之美。
【優雅的等式：歐拉公式與數學之美】 全書小16開本平裝，內文頁用的是70g輕型膠版紙，印刷清晰無異味，推薦給15歲及以上的數學愛好者們購閱。
版式： Xman.
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