今年春晚劉謙的魔術堪稱驚艷全場，那麽他這個魔術實作的原理是什麽呢？今天，就讓咱們使用 JS 是實作這個魔術。
約瑟夫環問題簡介
約瑟夫環問題源自古羅馬，由歷史學家約瑟夫斯提出，而其數學模型則在19世紀被命名。問題設定如下：n個人圍成一圈，從第一人開始報數，每報到第k個人，該人就會被淘汰。遊戲繼續進行，直到最後只剩下一個人。我們的目標是找出這個幸存者的編號。
用撲克牌解讀約瑟夫環
情景一：最簡單的情況
設想我們有兩張牌，編號為1和2。我們先將1號放到底部，然後移除2號。結果，最初位於頂部的1號牌幸存下來。
情景二：牌數為2的n次冪
設想有8張牌，編號從1到8。在第一輪中，我們會移除所有偶數編號的牌（2、4、6、8），剩余1、3、5、7。這些剩下的牌按順序放到底部，問題就變成了4張牌的情況。
重復這個過程，最終我們發現，如果牌數是2^n張，幸存的總是最初位於頂部的那張牌。
情景三：任意數量的牌
對於任意數量的牌（比如11張），我們可以將其表示為2^n+m（在這個例子中是8+3）。透過重復上述過程，我們會發現最終幸存的牌是最初位於頂部第m+1位的牌（在這個例子中是7號牌）
見證奇跡的時刻！
從4張牌開始，對折撕成8張排成ABCDABCD。
根據名字長度將頂部牌放到底部，位置變化不影響結果。譬如2次，最後變成CDABCDAB；譬如3次，最後換成DABCDABC。但無論怎麽操作，第4張和第8張牌都是一樣的。
將頂部3張牌隨意插入中間，確保第1張和第8張牌相同。這一步非常重要！因為操作完之後必然出現第1張和第8張牌是一樣的！以名字兩個字為例，可以寫成BxxxxxxB（這裏的x是其他和B不同的牌）。
拿掉頂上的牌放到一邊，記為B。剩下的序列是xxxxxxB，一共7張牌。
南方人/北方人/不確定，分別拿頂上的1/2/3張牌插到中間，但是不會改變剩下7張牌是xxxxxxB的結果。
男生拿掉1張，女生拿掉2張。也就是男生剩下6張，女生剩下5張。分別是xxxxxB和xxxxB。
迴圈7次，把最頂上的放到最底下，男生和女生分別會是xxxxBx和xxBxx。
最後執行約瑟夫環過程！操作到最後只剩下1張。當牌數為6時（男生），剩下的就是第5張牌；當牌數為5時（女生），剩下的就是第3張牌。Bingo！就是第4步拿掉的那張牌！
下面是完整的 JavaScript 程式碼實作：
// 定義一個函式，用於把牌堆頂n張牌移動到末尾
functionmoveCardBack(n, arr) {
// 迴圈n次，把佇列第一張牌放到佇列末尾
for (let i = 0; i < n; i++) {
const moveCard = arr.shift(); // 彈出隊頭元素，即第一張牌
arr.push(moveCard); // 把原隊頭元素插入到序列末尾
}
return arr;
}
// 定義一個函式，用於把牌堆頂n張牌移動到中間的任意位置
functionmoveCardMiddleRandom(n, arr) {
// 插入在arr中的的位置，隨機生成一個idx
// 這個位置必須是在n+1到arr.length-1之間
const idx = Math.floor(Math.random() * (arr.length - n - 1)) + n + 1;
// 執行插入操作
const newArr = arr.slice(n, idx).concat(arr.slice(0, n)).concat(arr.slice(idx));
return newArr;
}
// 步驟1：初始化8張牌，假設為"ABCDABCD"
let arr = ["A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D"];
console.log("步驟1：拿出4張牌，對折撕成8張，按順序疊放。");
console.log("此時序列為：" + arr.join('') + "\n---");
// 步驟2（無關步驟）：名字長度隨機選取，這裏取2到5（其實任意整數都行）
const nameLen = Math.floor(Math.random() * 4) + 2;
// 把nameLen張牌移動到序列末尾
arr = moveCardBack(nameLen, arr);
console.log(`步驟2：隨機選取名字長度為${nameLen}，把第1張牌放到末尾，操作${nameLen}次。`);
console.log(`此時序列為：${arr.join('')}\n---`);
// 步驟3（關鍵步驟）：把牌堆頂三張放到中間任意位置
arr = moveCardMiddleRandom(3, arr);
console.log(`步驟3：把牌堆頂3張放到中間的隨機位置。`);
console.log(`此時序列為：${arr.join('')}\n---`);
// 步驟4（關鍵步驟）：把最頂上的牌拿走
const restCard = arr.shift(); // 彈出隊頭元素
console.log(`步驟4：把最頂上的牌拿走，放在一邊。`);
console.log(`拿走的牌為：${restCard}`);
console.log(`此時序列為：${arr.join('')}\n---`);
// 步驟5（無關步驟）：根據南方人/北方人/不確定，把頂上的1/2/3張牌插入到中間任意位置
// 隨機選擇1、2、3中的任意一個數位
const moveNum = Math.floor(Math.random() * 3) + 1;
arr = moveCardMiddleRandom(moveNum, arr);
console.log(`步驟5：我${moveNum === 1 ? '是南方人' : moveNum === 2 ? '是北方人' : '不確定自己是哪裏人'}，\
把${moveNum}張牌插入到中間的隨機位置。`);
console.log(`此時序列為：${arr.join('')}\n---`);
// 步驟6（關鍵步驟）：根據性別男或女，移除牌堆頂的1或2張牌
const maleNum = Math.floor(Math.random() * 2) + 1; // 隨機選擇1或2
for (let i = 0; i < maleNum; i++) { // 迴圈maleNum次，移除牌堆頂的牌
arr.shift();
}
console.log(`步驟6：我是${maleNum === 1 ? '男' : '女'}生，移除牌堆頂的${maleNum}張牌。`);
console.log(`此時序列為：${arr.join('')}\n---`);
// 步驟7（關鍵步驟）：把頂部的牌移動到末尾，執行7次
arr = moveCardBack(7, arr);
console.log(`步驟7：把頂部的牌移動到末尾，執行7次`);
console.log(`此時序列為：${arr.join('')}\n---`);
// 步驟8（關鍵步驟）：執行約瑟夫環過程。把牌堆頂一張牌放到末尾，再移除一張牌，直到只剩下一張牌。
console.log(`步驟8：把牌堆頂一張牌放到末尾，再移除一張牌，直到只剩下一張牌。`);
while (arr.length > 1) {
const luck = arr.shift(); // 好運留下來
arr.push(luck);
console.log(`好運留下來：${luck}\t\t此時序列為：${arr.join('')}`);
const sadness = arr.shift(); // 煩惱都丟掉
console.log(`煩惱都丟掉：${sadness}\t\t此時序列為：${arr.join('')}`);
}
console.log(`---\n最終結果：剩下的牌為${arr[0]}，步驟4中留下來的牌也是${restCard}`);
透過上述程式碼，我們可以模擬劉謙春晚魔術的整個過程，並驗證其背後的數學邏輯。
以下為執行結果：
