2024-05-29碼農

在影像處理中，影像可以用不同域來表示和分析。

下面是幾種最常用的域：

空間域 是指由影像像素組成的空間。

時域是指影像隨時間變化的域。對於動態影像，例如視訊，時域表示影像幀隨時間的變化。時域處理是指對影像序列進行操作，例如運動分析、視訊壓縮等。

頻域是將影像從空間域變換到頻率域得到的表示。在頻域中，影像被表示為一個二維復數矩陣，其中每個元素代表影像中某一特定頻率分量的振幅和相位。

影像的空間域、時域和頻域是三種不同的表示影像資訊的視角，這三者之間可以相互轉換。

1. 頻域

影像的頻域是透過 傅立葉變換 將影像從空間域轉換到頻率域而得到的。在頻域中，影像的每個像素點都被表示為一個復數，其振幅表示該頻率分量的能量，相位表示該頻率分量的初始相位。

在空間域中，影像由像素值矩陣表示，每個像素值代表影像在該位置的顏色或亮度。在頻率域中，影像由 頻譜圖 表示，頻譜圖上的每個點代表影像中特定頻率的成分。影像的頻率域與空間域具有互補關系，影像的任何資訊都可以在空間域和頻率域中找到。

頻率域濾波的基本原理是將影像變換到頻率域，然後利用濾波器對影像的頻譜分量進行處理，最後將濾波後的頻譜分量變換回空間域得到濾波後的影像。

在頻率域中，影像的每個像素點都對應著一個頻率分量。低分頻量對應於影像中的平滑區域和整體形狀，而高分頻量對應於影像中的細節和邊緣。

空間域和頻率域的濾波器可以分為四類: 低通、高通、帶阻、帶通濾波器。

低通濾波器 允許低分頻量透過，抑制高分頻量。低分頻量通常對應於影像中的平滑區域和整體亮度變化，可以用於 平滑影像 ，去除雜訊和模糊細節。

高通濾波器 允許高分頻量透過，抑制低分頻量。高分頻量對應於影像中的邊緣和細節，可以用於 銳化影像 ，增強影像的邊緣和細節。

帶通濾波器 只允許特定頻率範圍內的訊號透過，抑制其他頻率範圍內的訊號。可以用於 提取影像中的特定特征 ，例如紋理或邊緣。

帶阻濾波器 抑制特定頻率範圍內的訊號，允許其他頻率範圍內的訊號透過。可以用於 去除影像中的特定雜訊 ，例如莫耳紋。

2. 影像銳化的原理

在該系列的第三十一篇文章中介紹過影像銳化。銳化的目的是為了突出影像的邊緣資訊，加強影像的輪廓特征，以便於人眼的觀察和機器的辨識。

在空間域，可以用空間微分來實作銳化。微分算子的響應強度與影像在該點的突變程度有關，影像微分增強了邊緣和其他突變(如雜訊)而消弱了灰度變化緩慢的區域。

在頻率域，由於影像中的邊緣、線條等細節部份與影像頻譜中的高分頻量相對應，在頻率域中使用 高通濾波器 能夠使影像的邊緣或線條變得清晰，從而使影像得到銳化。高通濾波器衰減傅立葉變換中的低分頻量，讓高分頻量順利透過，使低分頻量受到抑制，就可以增強高頻的成分。使影像的邊沿或線條變得清晰，從而實作影像的銳化。

3. 傅立葉變換

空間域、時域和頻域之間可以透過傅立葉變換(Fourier Transform)進行轉換。傅立葉變換是一種數學工具，可以將訊號從一個域變換到另一個域。

空間域到頻域的傅立葉變換 ：將影像從空間域 (x,y) 變換到頻域 (u,v) ，可以得到影像的頻譜。影像的頻譜可以反映影像的頻率成分，例如影像中邊緣、紋理等資訊的分布。

頻域到空間域的傅立葉逆變換 ：將影像從頻域變換回空間域，可以得到原始影像。

先上基礎的公式作為直觀地感受，後續文章會做介紹。

一維連續傅立葉變換：

一維連續傅立葉逆變換：

一維離散傅立葉變換：

一維離散傅立葉逆變換：

二維連續傅立葉變換：

二維連續傅立葉逆變換：

二維離散傅立葉變換：

二維離散傅立葉逆變換：

影像傅立葉變換的計算通常使用離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）來實作。DFT 是傅立葉變換的離散化版本，它可以將影像離散化成有限大小的矩陣，然後使用矩陣乘法來計算影像的傅立葉變換。

對於二維離散傅立葉變換，f(x,y) 表示大小為 M*N 的數位影像。表示 f(x,y) 的傅立葉變換。

在式中 f(x,y) 所在座標系被稱為空間域，由 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 所定義的 M x N 矩陣常被稱為空間域矩陣。所在座標系被稱為頻域，由 u = 0,1,2,···,M-1 和 v = 0,1,2,···,N-1 定義的 M x N 矩陣常稱為頻域矩陣。

下面的例子，展示了灰度影像經過傅立葉變換後生成頻譜圖的過程。

為了便於頻域和頻譜分析，在傅立葉變換後進行頻譜中心化，即對調頻譜的四個象限。頻譜中心化後，中間最亮的點是低頻率，屬於直流分量，越往外頻率越高。

#include<opencv2/opencv.hpp> #include<opencv2/core.hpp> #include<opencv2/highgui.hpp> usingnamespace cv; usingnamespacestd; voidmyDFT(Mat src, Mat& dst) { // 擴充邊界 int m = getOptimalDFTSize(src.rows); int n = getOptimalDFTSize(src.cols); copyMakeBorder(src, src, 0, m - src.rows, 0, n - src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0)); // 建立一個雙鍊結矩陣 planes，用來儲存復數的實部與虛部 Mat planes[] = {Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(), CV_32F) }; Mat complexI; // 增加一個通道，將兩個 planes 合並，為了儲存復數 merge(planes, 2, complexI); // 進行離散傅立葉變換 dft(complexI, complexI); split(complexI, planes); // 將雙鍊結分為兩個單鍊結，一個表示實部，一個表示虛部 magnitude(planes[0], planes[1], dst); //計算復數的幅值，保存在頻譜圖 dst // M = log(1 + M) dst += Scalar(1); // 取對數前將所有的像素都加1，防止 log0 log(dst, dst); // 取對數 normalize(dst, dst, 0, 1, NORM_MINMAX); //歸一化 imshow("dft", dst); // 二維離散傅立葉 // 剪下和重分布振幅影像限，如果有奇數行或奇數列，進行頻譜裁剪 dst = dst(Rect(0, 0, dst.cols & -2, dst.rows & -2)); // 重新排列傅立葉影像中的象限，將頻譜中心移至影像中心 int cx = dst.cols / 2; int cy = dst.rows / 2; Mat q0(dst, Rect(0, 0, cx, cy)); // 左上區域 Mat q1(dst, Rect(cx, 0, cx, cy)); // 右上區域 Mat q2(dst, Rect(0, cy, cx, cy)); // 左下區域 Mat q3(dst, Rect(cx, cy, cx, cy)); // 右下區域 /* origin: q0 | q1 q2 | q3 new: q3 | q2 q1 | q0 */ // 交換象限 Mat tmp; q0.copyTo(tmp); q3.copyTo(q0); tmp.copyTo(q3);// q0 與 q3 進行交換 q1.copyTo(tmp); q2.copyTo(q1); tmp.copyTo(q2);// q1 與 q2 進行交換 } intmain() { Mat src = imread(".../girl.jpg"); Mat gray, dst; imshow("src", src); cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY); imshow("gray", gray); myDFT(gray, dst); // 傅立葉變換 imshow("dst", dst); // 零頻率分量移至頻譜中心 waitKey(0); return0; }